Metalóxica.

Mentres a lóxica encárgase, entre outras cousas, de construír sistemas lóxicos, a metalógica ocúpase de estudar as propiedades de devanditos sistemas. As propiedades máis importantes que se poden demostrar dos sistemas lóxicos son: Consistencia Artigo principal: Consistencia (lóxica) Un sistema ten a propiedade de ser consistente cando non é posible deducir unha contradición dentro do sistema. É dicir, dado unha linguaxe formal cun conxunto de axiomas, e un aparello deductivo (regras de inferencia), non é posible chegar a unha contradición. Decidibilidad Artigo principal: Decidibilidad Dise dun sistema que é decidible cando, para calquera fórmula dada na linguaxe do sistema, existe un método efectivo para determinar si esa fórmula pertence ou non ao conxunto das verdades do sistema. Cando unha fórmula non pode ser probada verdadeira nin falsa, dise que a fórmula é independente, e que polo tanto o sistema é non decidible. O único xeito de incorporar unha fórmula independente ás verdades do sistema é postulándoa como axioma. Dous exemplos moi importantes de fórmulas independentes son o axioma de elección na teoría de conxuntos, e o quinto postulado da geometría euclidiana. Completitud Artigo principal: Completitud (lóxica) Fálase de completitud en varios sentidos, pero quizais os dous máis importantes sexan os de completitud semántica e completitud sintáctica. Un sistema S nunha linguaxe L é semánticamente completo cando todas as verdades lóxicas de L son teoremas de S. En cambio, un sistema S é sintácticamente completo si, para toda fórmula A de a linguaxe do sistema, A é un teorema de S ou ¬A é un teorema de S. Isto é, existe unha proba para cada fórmula ou para a súa negación. A lóxica proposicional e a lóxica de predicados de primeira orde son ambas semánticamente completas, pero non sintácticamente completas. Por exemplo, nótese que na lóxica proposicional, a fórmula p non é un teorema, e tampouco o é o seu negación, pero como ningunha das dúas é unha verdade lóxica, non afectan á completitud semántica do sistema. O segundo teorema de incompletitud de Gödel demostra que ningún sistema (definido recursivamente) con certo poder expresivo pode ser á vez consistente e completo.